Площадь

Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Площадь
Общие символы
А
Единица СИКвадратный метр2 ]
В базовых единицах СИм 2
Измерение
Три фигуры на квадратной сетке
Общая площадь этих трех фигур составляет примерно 15,57 квадрата .

Площадь - это величина, которая выражает протяженность двухмерной области , формы или плоской пластинки на плоскости . Площадь поверхности является ее аналогом на двумерной поверхности в виде трехмерного объекта . Под площадью можно понимать количество материала заданной толщины, которое необходимо для создания модели формы, или количество краски, необходимое для покрытия поверхности одним слоем. [1] Это двумерный аналог длины в виде кривой (одномерный концепция) илиобъем твердого тела (трехмерное понятие).

Площадь фигуры можно измерить, сравнив ее с квадратами фиксированного размера. [2] В Международной системе единиц (СИ) стандартной единицей площади является квадратный метр ( обозначенный как м 2 ), который представляет собой площадь квадрата, длина сторон которого составляет один метр . [3] Форма площадью три квадратных метра будет иметь такую ​​же площадь, как три таких квадрата. В математике , то единичный квадрат определяются , чтобы иметь площадь один, а площадь любой другой формы или поверхность представляет собой безразмерное действительное число .

Есть несколько хорошо известных формул для областей простых форм, таких как треугольники , прямоугольники и круги . Используя эти формулы, можно найти площадь любого многоугольника , разделив многоугольник на треугольники . [4] Для фигур с изогнутой границей обычно требуется исчисление для вычисления площади. Действительно, проблема определения площади плоских фигур была главной мотивацией исторического развития математики . [5]

Для твердой формы, такой как сфера , конус или цилиндр, площадь его граничной поверхности называется площадью поверхности . [1] [6] [7] Формулы для площади поверхности простых форм были вычислены древними греками , но вычисление площади поверхности более сложной формы обычно требует многомерного исчисления .

Площадь играет важную роль в современной математике. Помимо очевидной важности в геометрии и исчислении, область связана с определением определителей в линейной алгебре и является основным свойством поверхностей в дифференциальной геометрии . [8] В анализе , площадь подмножества плоскости определяются с использованием меры Лебега , [9] , хотя и не каждое подмножество измеримо. [10] В целом область в высшей математике рассматривается как частный случай объема для двумерных областей. [1]

Площадь может быть определена с помощью аксиом, определяя ее как функцию набора определенных плоских фигур к набору действительных чисел. Можно доказать, что такая функция существует.

Формальное определение [ править ]

Подход к определению того, что подразумевается под «площадью», основан на аксиомах . «Площадь» может быть определена как функция от набора M специальных видов плоских фигур (называемых измеримыми множествами) до набора действительных чисел, который удовлетворяет следующим свойствам: [11]

  • Для всех S в M , ( S ) ≥ 0.
  • Если S и T принадлежат M, то ST и ST , а также a ( ST ) = a ( S ) + a ( T ) - a ( ST ).
  • Если S и T находятся в M с ST, то T - S находится в M и a ( T - S ) = a ( T ) - a ( S ).
  • Если множество S находится в M и S конгруэнтно T, то T также находится в M и a ( S ) = a ( T ).
  • Каждый прямоугольник R в M . Если прямоугольник имеет длину h и ширину k, то a ( R ) = hk .
  • Пусть Q некоторое множество , заключенное между двумя областями шага S и T . Область шаг формируется из конечного объединения смежных прямоугольников , опирающихся на общем основании, то есть SQT . Если существует уникальный номер c такой, что a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) для всех таких ступенчатых областей S и T , то a ( Q ) = c .

Можно доказать, что такая функция площади действительно существует. [12]

Единицы [ править ]

Квадрат из трубы ПВХ на траве
Квадратный метр Quadrat из ПВХ трубы.

Каждой единице длины соответствует соответствующая единица площади, а именно площадь квадрата с заданной длиной стороны. Таким образом, площади могут быть измерены в квадратных метрах2 ), квадратных сантиметрах (см 2 ), квадратных миллиметрах (мм 2 ), квадратных километрах (км 2 ), квадратных футах (фут 2 ), квадратных ярдах (ярдах 2 ), квадратных милях. (ми 2 ) и так далее. [13] С алгебраической точки зрения эти единицы можно представить как квадраты соответствующих единиц длины.

Единица площади СИ - квадратный метр, который считается производной единицей СИ . [3]

Конверсии [ править ]

Диаграмма, показывающая коэффициент преобразования между различными областями
Хотя есть 10 мм в 1 см, есть 100 мм 2 в 1 см 2 .

Расчет площади квадрата длиной и шириной 1 метр будет следующим:

1 метр × 1 метр = 1 м 2

Итак, прямоугольник с разными сторонами (скажем, длиной 3 метра и шириной 2 метра) будет иметь площадь в квадратных единицах, которую можно рассчитать как:

3 метра × 2 метра = 6 м 2 . Это эквивалентно 6 миллионам квадратных миллиметров. Другие полезные преобразования:

  • 1 квадратный километр = 1000000 квадратных метров
  • 1 квадратный метр = 10 000 квадратных сантиметров = 1 000 000 квадратных миллиметров
  • 1 квадратный сантиметр = 100 квадратных миллиметров.

Неметрические единицы [ править ]

В неметрических единицах преобразование между двумя квадратными единицами является квадратом преобразования между соответствующими единицами длины.

1 фут = 12 дюймов ,

соотношение между квадратными футами и квадратными дюймами

1 квадратный фут = 144 квадратных дюйма,

где 144 = 12 2 = 12 × 12. Аналогично:

  • 1 квадратный ярд = 9 квадратных футов
  • 1 квадратная миля = 3 097 600 квадратных ярдов = 27 878 ​​400 квадратных футов

Кроме того, коэффициенты пересчета включают:

  • 1 квадратный дюйм = 6,4516 квадратных сантиметров
  • 1 квадратный фут = 0,092 903 04 квадратных метра
  • 1 квадратный ярд = 0,836 127 36 квадратных метров
  • 1 квадратная миля = 2,589 988 110 336 квадратных километров

Другие единицы, включая исторические [ править ]

Есть несколько других общих единиц для площади. Аре был оригинальный единица площади в метрической системе , с:

  • 1 сотка = 100 квадратных метров

Хотя площадь вышла из употребления, гектар по-прежнему обычно используется для измерения земли: [13]

  • 1 га = 100 соток = 10000 квадратных метров = 0,01 квадратных километров

Другие необычные метрические единицы площади включают тетраду , гектад и мириады .

Акры также широко используются для измерения земельных участков, где

  • 1 акр = 4840 квадратных ярдов = 43 560 квадратных футов.

Акр - это примерно 40% гектара.

В атомном масштабе площадь измеряется в амбарах , например: [13]

  • 1 сарай = 10-28 кв.

Сарай обычно используется для описания площади поперечного сечения взаимодействия в ядерной физике . [13]

В Индии ,

  • 20 дурки = 1 дур
  • 20 дур ​​= 1 ката
  • 20 хата = 1 бигха
  • 32 хата = 1 акр

История [ править ]

Площадь круга [ править ]

В нашей эре 5 века, Гиппократ Хиоса был первым , чтобы показать , что область диска (область заключена в круге) пропорциональна квадрат ее диаметр, как часть его квадратуры из луночки Гиппократ , [14 ], но не определил константу соразмерности . Евдокс Книдский , также живший в V веке до нашей эры, также обнаружил, что площадь диска пропорциональна квадрату его радиуса. [15]

Впоследствии в Книге I Элементов Евклида речь шла о равенстве площадей двухмерных фигур. Математик Архимед использовал инструменты евклидовой геометрии, чтобы показать, что площадь внутри круга равна площади прямоугольного треугольника , основание которого имеет длину окружности круга, а высота равна радиусу круга, в своей книге Измерение круга . (Окружность равна 2 π r , а площадь треугольника равна половине основания, умноженной на высоту, что дает площадь π r 2 для диска.) Архимед аппроксимировал значение π (и, следовательно, площадь круга единичного радиуса ) сего метод удвоения , в котором он вписал правильный треугольник в круг и отметил его площадь, затем удвоил количество сторон, чтобы получился правильный шестиугольник , а затем несколько раз удвоил количество сторон по мере того, как площадь многоугольника становилась все ближе и ближе к площади многоугольника. круг (и то же самое с описанными многоугольниками ).

Швейцарский ученый Иоганн Генрих Ламберт в 1761 году доказал, что π , отношение площади круга к его квадрату радиуса, иррационально , то есть не равно частному любых двух целых чисел. [16] В 1794 году французский математик Адриан-Мари Лежандр доказал, что π 2 иррационально; это также доказывает, что π иррационально. [17] В 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеманн доказал, что π трансцендентно (не решение любого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами), подтвердив гипотезу, сделанную Лежандром и Эйлером. [16]: стр. 196

Площадь треугольника [ править ]

Герон (или Герой) Александрийский нашел так называемую формулу Герона для площади треугольника с точки зрения его сторон, и доказательство можно найти в его книге « Метрика» , написанной около 60 г. н.э. Было высказано предположение, что Архимед знал формулу более двух веков назад [18], и поскольку Метрика представляет собой собрание математических знаний, доступных в древнем мире, возможно, что формула предшествует ссылке, данной в этой работе. [19]

В 499 Aryabhata , великий математик - астроном из классического возраста индийской математики и индийской астрономии , выраженная площадь треугольника как половины базового кратной высоты в Aryabhatiya (раздел 2.6).

Формула, эквивалентная формуле Герона, была открыта китайцами независимо от греков. Он был опубликован в 1247 году в Шушу ЦзючжанМатематический трактат в девяти разделах »), написанном Цинь Цзюшао .

Четырехугольник [ править ]

В 7 веке нашей эры Брахмагупта разработал формулу, теперь известную как формула Брахмагупты , для площади вписанного четырехугольника ( четырехугольника, вписанного в круг) с точки зрения его сторон. В 1842 году немецкие математики Карл Антон Бретшнайдер и Карл Георг Кристиан фон Штаудт независимо друг от друга нашли формулу, известную как формула Бретшнайдера , для площади любого четырехугольника.

Общая многоугольная область [ править ]

Развитие декартовых координат по Рене Декарт в 17 - м веке позволило разработать в формуле землемера для площади любого многоугольника с известными вершинными местоположениями Гауссами в 19 веке.

Площади, определенные с помощью исчисления [ править ]

Развитие интегрального исчисления в конце 17 века предоставило инструменты, которые впоследствии можно было использовать для вычисления более сложных областей, таких как площадь эллипса и площади поверхностей различных изогнутых трехмерных объектов.

Формулы площади [ править ]

Формулы многоугольника [ править ]

Для несамопересекающегося ( простого ) многоугольника, декартовы координаты ( i = 0, 1, ..., n -1) у которого известны n вершин , площадь определяется формулой геодезиста : [20]

где, когда i = n -1, тогда i +1 выражается как модуль n и, таким образом, относится к 0.

Прямоугольники [ править ]

Прямоугольник с обозначенными длиной и шириной
Площадь этого прямоугольника  lw .

Самая основная формула площади - это формула площади прямоугольника . Для прямоугольника длиной l и шириной w формула для вычисления площади имеет следующий вид: [2] [21]

A = lw  (прямоугольник).

То есть площадь прямоугольника - это длина, умноженная на ширину. В качестве особого случая, поскольку l = w в случае квадрата, площадь квадрата со стороной s определяется по формуле: [1] [2] [22]

A = s 2  (квадрат).

Формула площади прямоугольника следует непосредственно из основных свойств площади и иногда используется как определение или аксиома . С другой стороны, если геометрия разработана , прежде чем арифметика , эта формула может быть использована для определения умножения из действительных чисел .

Рассечение, параллелограммы и треугольники [ править ]

Большинство других простых формул площади следует из метода рассечения . Это включает разрезание формы на части, площадь которых должна совпадать с площадью исходной формы.

Схема, показывающая, как параллелограмм можно преобразовать в форму прямоугольника.

Например, любой параллелограмм можно разделить на трапецию и прямоугольный треугольник , как показано на рисунке слева. Если треугольник переместить на другую сторону трапеции, то полученная фигура будет прямоугольником. Отсюда следует, что площадь параллелограмма равна площади прямоугольника: [2]

A = bh  (параллелограмм).
Параллелограмм разделен на два равных треугольника.

Однако тот же параллелограмм также можно разрезать по диагонали на два равных треугольника, как показано на рисунке справа. Отсюда следует, что площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма: [2]

 (треугольник).

Подобные аргументы можно использовать для поиска формул площади для трапеции [23], а также для более сложных многоугольников . [24]

Площадь изогнутых форм [ править ]

Круги [ править ]

Круг, разделенный на множество секторов, можно грубо переставить в параллелограмм.
Круг можно разделить на секторы, которые перестраиваются, образуя приблизительный параллелограмм .

Формула для площади круга (правильнее называть площадь, заключенную в круг или площадь диска ) основана на аналогичном методе. Имея круг радиуса r , можно разбить круг на секторы , как показано на рисунке справа. Каждый сектор имеет приблизительно треугольную форму, и сектора можно переставить, чтобы сформировать приблизительный параллелограмм. Высота этого параллелограмма равна r , а ширина равна половине окружности круга, или π r . Таким образом, общая площадь круга равна π r 2 : [2]

A = π r 2  (круг).

Хотя рассечение, используемое в этой формуле, является приблизительным, ошибка становится все меньше и меньше, поскольку круг разбивается на все больше и больше секторов. Предел площадей приближенных параллелограммов именно π г 2 , который является площадь круга. [25]

Этот аргумент на самом деле является простым применением идей математического анализа . В древние времена метод исчерпания использовался аналогичным образом для определения площади круга, и теперь этот метод признан предшественником интегрального исчисления . Используя современные методы, площадь круга можно вычислить с помощью определенного интеграла :

Эллипсы [ править ]

Формула для площади, заключенной в эллипс , связана с формулой круга; для эллипса с большой и малой полуосями x и y формула: [2]

Площадь [ править ]

Синяя сфера внутри цилиндра такой же высоты и радиуса
Архимед показал, что площадь поверхности сферы ровно в четыре раза больше площади плоского диска того же радиуса, а объем, заключенный сферой, составляет ровно 2/3 объема цилиндра той же высоты и радиуса.

Большинство основных формул для определения площади поверхности можно получить, разрезая поверхности и выровняв их. Например, если боковая поверхность цилиндра (или любой призмы ) разрезана по длине, поверхность можно выровнять до прямоугольника. Точно так же, если разрез делается вдоль стороны конуса , боковую поверхность можно выровнять до сектора круга, и вычислить результирующую площадь.

Формулу для площади поверхности сферы вывести сложнее: поскольку сфера имеет ненулевую гауссову кривизну , ее нельзя сплющить. Формула для площади поверхности сферы была впервые получена Архимедом в его работе « О сфере и цилиндре» . Формула: [6]

A = 4 πr 2  (сфера),

где r - радиус сферы. Как и в случае с формулой для площади круга, любой вывод этой формулы по своей сути использует методы, аналогичные исчислению .

Общие формулы [ править ]

Площади двумерных фигур [ править ]

Площадь треугольника
  • Треугольник : (где B является любой стороной, а ч расстояния от линии , на которой Б лежит в других вершины треугольника). Эту формулу можно использовать, если известна высота h . Если длины трех сторон известны, то можно использовать формулу Герона : где a , b , c - стороны треугольника, а половина его периметра. [2] Если задан угол и две его стороны, это область, где C - заданный угол, а a и bявляются его включенными сторонами. [2] Если треугольник изображен на координатной плоскости, можно использовать матрицу, которая упрощается до абсолютного значения . Эта формула также известна как формула шнурка и представляет собой простой способ найти площадь координатного треугольника, подставив 3 точки (x 1 , y 1 ) , (x 2 , y 2 ) и (x 3 , y 3 ) . Формулу шнурка можно также использовать для определения площадей других многоугольников, когда известны их вершины. Другой подход для координатного треугольника - использовать исчисление для определения площади.
  • Простой многоугольник , построенный на сетке равновеликиха дистанцировался точек (т.е. точек с целыми координатами), что все вершины многоугольника являются точки сетки: , где я есть число точек сетки внутри многоугольника и Ь есть число граничных точек . Этот результат известен как теорема Пика . [26]

Площадь в исчислении [ править ]

Диаграмма, показывающая область между заданной кривой и осью x
Интегрирование можно рассматривать как измерение площади под кривой, определяемой f ( x ), между двумя точками (здесь a и b ).
Схема, показывающая область между двумя функциями
Площадь между двумя графиками можно оценить, вычислив разницу между интегралами двух функций.
  • Площадь между положительной кривой и горизонтальной осью, измеренная между двумя значениями a и b (b определяется как большее из двух значений) на горизонтальной оси, задается интегралом от a до b функции, которая представляет собой кривую: [1]
где - кривая с большим значением y.
или z -компонента
(Подробнее см . Теорему Грина § Расчет площади .) Это принцип планиметрического механического устройства.

Ограниченная область между двумя квадратичными функциями [ править ]

Чтобы найти ограниченную область между двумя квадратичными функциями , мы вычитаем одну из другой и записываем разницу в виде

где f ( x ) - квадратичная верхняя граница, а g ( x ) - квадратичная нижняя граница. Определим дискриминант из F ( х ) - г ( х ) в виде

Упростив интегральную формулу между графиками двух функций (как указано в разделе выше) и используя формулу Виета , мы можем получить [27] [28]

Сказанное выше остается в силе, если одна из ограничивающих функций является линейной, а не квадратичной.

Площадь поверхности трехмерных фигур [ править ]

  • Конус : [29] , где r - радиус круглого основания, а h - высота. Это также можно переписать как [29] или где r - радиус, а l - наклонная высота конуса. - площадь основания, а - площадь боковой поверхности конуса. [29]
  • куб :, где s - длина ребра. [6]
  • цилиндр :, где r - радиус основания, а h - высота. 2 г также можно переписать в виде D , где d представляет собой диаметр.
  • призма : 2B + Ph, где B - площадь основания, P - периметр основания, а h - высота призмы.
  • пирамида :, где B - площадь основания, P - периметр основания, L - длина склона.
  • прямоугольная призма :, где - длина, w - ширина, h - высота.

Общая формула для площади поверхности [ править ]

Общая формула для площади поверхности графика непрерывно дифференцируемой функции, где и - область на плоскости xy с гладкой границей:

Еще более общая формула для площади графика параметрической поверхности в векторной форме, где - непрерывно дифференцируемая вектор-функция от : [8]

Список формул [ править ]

Дополнительные общие формулы для площади:
Форма Формула Переменные
Правильный треугольник ( равносторонний треугольник ) длина одной стороны треугольника.
Треугольник [1] равно половина периметра, , и являются длиной каждой стороны.
Треугольник [2] и - любые две стороны, и - угол между ними.
Треугольник [1] и - основание и высота (измеренные перпендикулярно основанию) соответственно.
Равнобедренный треугольник - длина одной из двух равных сторон и длина другой стороны.
Ромб / Воздушный змей и - длины двух диагоналей ромба или воздушного змея.
Параллелограмм длина основания и высота перпендикуляра.
Трапеция и - параллельные стороны и расстояние (высота) между параллелями.
Правильный шестиугольник длина одной стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник длина одной стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник - длина стороны и - количество сторон.
Правильный многоугольник - периметр и - количество сторон.
Правильный многоугольник - радиус описанной окружности, - радиус вписанной окружности и - количество сторон.
Правильный многоугольник - количество сторон, - длина стороны, - это апофема или радиус вписанной окружности в многоугольник, и - это периметр многоугольника.
Круг радиус и диаметр .
Круговой сектор и - радиус и угол (в радианах ) соответственно, а - длина периметра.
Эллипс [2] и - большая и малая полуоси соответственно.
Общая площадь цилиндра и - радиус и высота соответственно.
Площадь боковой поверхности цилиндра и - радиус и высота соответственно.
Общая площадь поверхности сферы [6] и - радиус и диаметр соответственно.
Общая площадь пирамиды [6] - площадь основания, - периметр основания и - высота наклона.
Общая площадь усеченной пирамиды [6] - площадь основания, - периметр основания и - высота наклона.
Преобразование площади в круглую - площадь квадрата в квадратных единицах.
Преобразование круглой площади в квадратную - площадь круга в круговых единицах.

Приведенные выше расчеты показывают, как найти области многих распространенных форм .

Площади неправильных многоугольников можно рассчитать по « формуле геодезиста ». [25]

Отношение площади к периметру [ править ]

Изопериметрическое неравенство утверждает , что для замкнутой кривой длины L (поэтому область его окружает имеет периметр L ) и для зоны A региона , что она окружает,

и равенство выполняется тогда и только тогда, когда кривая представляет собой окружность . Таким образом, круг имеет самую большую площадь из всех замкнутых фигур с заданным периметром.

С другой стороны, фигура с заданным периметром L может иметь произвольно малую площадь, как показано ромбом, который произвольно «перевернут», так что два его угла произвольно близки к 0 °, а два других - произвольно близких. до 180 °.

Для круга отношение площади к длине окружности (термин, обозначающий периметр круга) равно половине радиуса r . Это видно из формулы площади πr 2 и формулы окружности 2 πr .

Площадь правильного многоугольника равна половине его периметра, умноженному на апофему (где апофема - это расстояние от центра до ближайшей точки с любой стороны).

Фракталы [ править ]

При удвоении длины ребер многоугольника его площадь умножается на четыре, то есть два (отношение длины новой стороны к старой), возведенные в степень двойки (размер пространства, в котором находится многоугольник). Но если одномерные длины фрактала, нарисованного в двух измерениях, все удваиваются, пространственное содержание фрактала масштабируется в степени двойки, которая не обязательно является целым числом. Эта сила называется фрактальной размерностью фрактала. [30]

Биссектрисы площади [ править ]

Есть бесконечное множество линий, которые делят площадь треугольника пополам. Три из них являются медианами треугольника (которые соединяют середины сторон с противоположными вершинами), и они совпадают в центроиде треугольника ; действительно, это единственные биссектрисы площади, которые проходят через центроид. Любая линия, проходящая через треугольник, которая разделяет площадь и периметр треугольника пополам, проходит через центр треугольника (центр вписанной окружности ). Для любого треугольника их может быть один, два или три.

Любая линия, проходящая через середину параллелограмма, делит область пополам.

Все биссектрисы площади круга или другого эллипса проходят через центр, а любые хорды, проходящие через центр, делят площадь пополам. В случае круга это диаметры круга.

Оптимизация [ править ]

Учитывая контур проволоки, поверхность с наименьшей площадью перекрытия («заполнения») является минимальной поверхностью . К знакомым примерам относятся мыльные пузыри .

Вопрос о зоне наполнения в риманова круга остается открытым. [31]

Круг имеет самую большую площадь из всех двухмерных объектов с таким же периметром.

Циклический многоугольник (один вписан в окружности) имеет самую большую площадь любого многоугольника с заданным числом сторон одинаковой длиной.

Версия изопериметрического неравенства для треугольников гласит, что треугольник наибольшей площади среди всех треугольников с заданным периметром является равносторонним . [32]

Треугольник наибольшей площади из всех вписанных в данный круг равносторонний; и треугольник наименьшей площади из всех описанных вокруг данного круга является равносторонним. [33]

Отношение площади вписанной окружности к площади равностороннего треугольника больше, чем у любого неравностороннего треугольника. [34]

Отношение площади к квадрату периметра равностороннего треугольника больше, чем у любого другого треугольника. [32]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d e f g h Вайсштейн, Эрик У. "Площадь" . Wolfram MathWorld . Архивировано 5 мая 2012 года . Проверено 3 июля 2012 года .
  2. ^ a b c d e f g h i j k "Формулы площади" . Math.com. Архивировано 2 июля 2012 года . Проверено 2 июля 2012 года .
  3. ^ a b «Резолюция 12 11-го собрания CGPM (1960)» . Bureau International des Poids et Mesures . Архивировано 28 июля 2012 года . Проверено 15 июля 2012 года .
  4. ^ Марк де Берг; Марк ван Кревельд; Марк Овермарс ; Отфрид Шварцкопф (2000). «Глава 3: Триангуляция многоугольника» . Вычислительная геометрия (2-е изд., Перераб.). Springer-Verlag . С.  45–61 . ISBN 978-3-540-65620-3.
  5. ^ Бойер, Карл Б. (1959). История математического анализа и его концептуального развития . Дувр. ISBN 978-0-486-60509-8.
  6. ^ a b c d e f Вайсштейн, Эрик В. "Площадь поверхности" . Wolfram MathWorld . Архивировано 23 июня 2012 года . Проверено 3 июля 2012 года .
  7. ^ Фонд, СК-12. «Площадь поверхности» . Фундамент СК-12 . Проверено 9 октября 2018 .
  8. ^ а б ду Карму, Манфредо (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Прентис-Холл. п. 98, ISBN 978-0-13-212589-5 
  9. Вальтер Рудин (1966). Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 0-07-100276-6 . 
  10. ^ Джеральд Фолланд (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения , John Wiley & Sons, Inc., стр. 20, ISBN 0-471-31716-0 
  11. Апостол, Том (1967). Исчисление . I: Исчисление с одной переменной, с введением в линейную алгебру. С. 58–59. ISBN 9780471000051.
  12. ^ Мойз, Эдвин (1963). Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения . Аддисон-Уэсли Паб. Co . Проверено 15 июля 2012 года .
  13. ^ a b c d Международное бюро помощи и мер (2006). «Международная система единиц (СИ)» (PDF) . 8-е изд. Архивировано (PDF) из оригинала 05.11.2013 . Проверено 13 февраля 2008 . Cite journal requires |journal= (help) Глава 5.
  14. ^ Хит, Томас Л. (2003), Руководство греческой математики , Courier Dover Publications, стр. 121-132, ISBN 978-0-486-43231-1, заархивировано из оригинала на 2016-05-01
  15. ^ Стюарт, Джеймс (2003). Исчисление одной переменной, ранние трансцендентальные (5-е изд.). Торонто ON: Брук / Коул. п. 3 . ISBN 978-0-534-39330-4. Однако, косвенно, Евдокс (V век до нашей эры) использовал истощение, чтобы доказать знакомую формулу для площади круга:
  16. ^ а б Арндт, Йорг; Хене л, Кристоф (2006). Pi Unleashed . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. Проверено 5 июня 2013 . Английский перевод Катрионы и Дэвида Лишки.
  17. ^ Eves, Говард (1990), Введение в истории математики (6 - е изд.), Saunders, стр. 121, ISBN 978-0-03-029558-4
  18. ^ Хит, Томас Л. (1921). История греческой математики (Том II) . Издательство Оксфордского университета. С. 321–323.
  19. ^ Weisstein, Эрик В. "Формула Герона" . MathWorld .
  20. Бурк, Поль (июль 1988 г.). «Расчет площади и центра тяжести многоугольника» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала на 16 сентября 2012 года . Проверено 6 фев 2013 .
  21. ^ "Площадь параллелограмма / прямоугольника" . ProofWiki.org. Архивировано 20 июня 2015 года . Дата обращения 29 мая 2016 .
  22. ^ «Площадь квадрата» . ProofWiki.org. Архивировано 4 ноября 2017 года . Дата обращения 29 мая 2016 .
  23. ^ Авербах, Бонни; Чейн, Орин (2012), Решение проблем с помощью развлекательной математики , Довер, стр. 306, ISBN 978-0-486-13174-0, заархивировано из оригинала 13.05.2016
  24. ^ Джоши, KD (2002), Расчет для ученых и инженеров: аналитический подход , CRC Press, стр. 43, ISBN 978-0-8493-1319-6, заархивировано из оригинала 05.05.2016
  25. ^ a b Брейден, Барт (сентябрь 1986 г.). «Формула площади геодезиста» (PDF) . Журнал математики колледжа . 17 (4): 326–337. DOI : 10.2307 / 2686282 . JSTOR 2686282 . Архивировано (PDF) из оригинала 27 июня 2012 года . Проверено 15 июля 2012 года .  
  26. ^ Трайнин, J. (ноябрь 2007). «Элементарное доказательство теоремы Пика». Математический вестник . 91 (522): 536–540. DOI : 10.1017 / S0025557200182270 .
  27. ^ Математика . PT Grafindo Media Pratama. С. 51–. ISBN 978-979-758-477-1. Архивировано 20 марта 2017 года.
  28. ^ Получите успех UN + SPMB Matematika . PT Grafindo Media Pratama. С. 157–. ISBN 978-602-00-0090-9. Архивировано 23 декабря 2016 года.
  29. ^ a b c Вайсштейн, Эрик В. "Конус" . Wolfram MathWorld . Архивировано 21 июня 2012 года . Проверено 6 июля 2012 года .
  30. ^ Мандельброт, Бенуа Б. (1983). Фрактальная геометрия природы . Макмиллан. ISBN  978-0-7167-1186-5. Архивировано 20 марта 2017 года . Проверено 1 февраля 2012 года .
  31. ^ Громов, Михаил (1983), "Заполнение римановых многообразий" , Журнал дифференциальной геометрии , 18 (1): 1-147, CiteSeerX 10.1.1.400.9154 , DOI : 10,4310 / Судей / 1214509283 , MR 0697984 , архивируются от оригинала на 2014-04-08  
  32. ^ a b Чакериан, GD (1979) "Искаженный взгляд на геометрию". Гл. 7 в математических сливах . Р. Хонсбергер (ред.). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, стр. 147.
  33. ^ Дорри, Heinrich (1965), 100 Большая Проблема элементарной математики , Dover публ., Стр. 379-380.
  34. ^ Минда, Д .; Фелпс, С. (октябрь 2008 г.). «Треугольники, эллипсы и кубические многочлены» . Американский математический ежемесячник . 115 (8): 679–689: Теорема 4.1. DOI : 10.1080 / 00029890.2008.11920581 . JSTOR 27642581 . S2CID 15049234 . Архивировано 4 ноября 2016 года.  

Внешние ссылки [ править ]